镜象法在求解感应电荷与场电荷作用力中的应用

镜象法在求解感应电荷与场电荷作用力中的应用

镜象法上静电学中求导体间相互作用力的灵巧方法。镜象法的实质是用“镜象电荷”来“替换”导体表面的感应电荷，并仍保持导体表面和以外空间的电场不变。本文拟就镜象法处理问题作一专题讨论。

镜象法的提出：

例1    如图1所示，产生的电场中放置一块无限大接地导体板，试计算导体板上产生的感应电荷对的作用力。

分析    由于静电感应，导体板右边带负电，左边带等量的正电，但由于板接地，所以导体板上左边的正电荷流入地球。

由于感应电荷并非是均匀分布在右表面，虽说可以用力的独立作用原理和力的合成原理来计算，但是在中学阶段由于数学知识的限制，实际上是无法计算的。

如图2所示，表面的对称点，由于静电平衡该点的和场强等于零，其成因是感应电荷与在该点产生的电场强度等值反向。如图3所示，根据对称性，板右方距板处产生的电场强度大小。

由此板面感应电荷对的作用力等于。

 

 

说明    从力的表达式看，板面感应电荷对的作用力与在点放置一个电量为的电荷对它的作用力是等效的。点放置的称为在导体板中“镜象电荷”。这样的镜象电荷与原电荷组合后，能够确保导体右板面的电势等于零，同时板右侧的电场分布是不变的。

推广    在电荷产生的电场中放置一个任意形状地导体板，要计算板上感应电荷对的作用力，如果能够找到的镜象电荷，则这个作用力的计算公式为，式中为电荷与镜象电荷之间的距离。

关键    镜象电荷位置和电量（包括电性）的确定，应抓住边界条件：在例1中的边界条件是导体右板（感应电荷分布处）的电势等于零。如图4所示：设镜象电荷位于板的右侧距离板处，电量等于，任意取右侧板上的一点，则的电势等于由此可知与电性相反（带负电）。整理（1）得：，由于此式对于任意的值都要能够成立，所以，即，（相当于平面镜成像）。

    例2   在点电荷的电场中，半径为的接地导体球，与导体球球心的距离为。求导体球与的库仑作用力。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

作业    如图6所示，点电荷位于一很大的直角接地板附近，与板面的距离分别为、。试求受到的库仑力。