函数说课稿

1．  本小节内容包括变量，常量,函数的概念，函数的三个要素，及函数值的求法。

2．  地位和作用：函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，是对初中数学中的函数概念的深化，归纳。初中的概念只停留在具体的几个类型的函数，教材中是从映射的概念出发来讲授函数的概念，本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，学习了本小节后，为以后学习其他类型的函数打下扎实的基本概念。

3．  教学目标：

知识目标： （1）了解函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的一个映射．能理解函数是由定义域，陪域，对应法则三要素构成的整体．

（2）通过函数概念的学习，对函数记号 有正确的理解，准确把握其含义，了解 ( 为常数)与 的区别与联系

　      能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

　　　　　　      （2）启发学生能够发现问题，提出问题，分析问题和创造地解决问题；

　　　　　　      （3）通过教师指导，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；　　　　　　　　　　　　　

德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

4．  重点和难点：

         本小节的重点是在映射的基础上理解函数的概念．，主要包括对函数的定义，三要素的作用的理解与认识．教学难点是函数的定义和函数符号的认识与使用．

　　     ①由于学生在初中已学习了函数的变量观点下的定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数并不陌生，所以在中专重新定义函数时，重要的是让学生认识到它的优越性，它从根本上揭示了函数的本质，由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体，让学生能主动将函数与函数解析式区分开来．对这一点的认识对于后面函数的性质的研究都有很大的帮助．

②在本节中首次引入了抽象的函数符号 ，学生往往只接受具体的函数解析式，而不能接受 ，所以应让学生从符号的含义认识开始，符号本身就是三要素的体现．此外 本身还指明了谁是谁的函数，有利于我们分清函数解析式中的常量与变量．如，它应表示以 为自变量的二次函数，而如果写成 ，则我们就不能准确了解谁是变量，谁是常量，当 为变量时，它就不代表二次函数．

二、教法
教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：

（1）比较法：通过初中的函数的概念和中专阶段的函数的概念进行比较，初中的概念是强调了两个变量之间的对应关系，而中专的概念强调了函数的三要素构成了函数这个整体，深入地理解函数概念的本质；其次是比较映射的概念和函数的概念，其中的区别：函数强调“变量的值”。映射中的A与B在集合中被强调是数集，其中的联系：“对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应”与“对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应”所具有的类似的结构。比较 与 之间的区别， 是变量，而 是常量。

（2）     列举法：中专对函数内容的学习是初中函数内容的深化和延伸．深化首先体现在函数的定义更具一般性．故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子，并用变量观点加以解释，如给出： 是不是函数的问题，用变量定义解释显得很勉强，而如果从集合与映射的观点来解释就十分自然，所以有重新认识函数的必要。

“授人与鱼，不如授人与渔”。教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，进行以下学法指导：

（1）              比较法：在初步理解函数概念的同时，要求学生比较映射的概念，特别加深理解数学知识之间的相互渗透性。

（2）              观察分析：让学生要学会观察问题，分析问题和解决新问题。

 

四、教学程序设计
1．复习（提问的形式）

我们在上一次课中讲了映射的概念

〈师〉：映射的概念是什么？

〈生〉：设 和 是两个集合，如果存在一个法则 ，使得集合 中每一个元素 ，都有 中惟一确定的元素 与它对应，则称 是 到 的一个映射（记法： ）

〈师〉：我们注意到映射是集合到集合的对应，今天我们要学的则是映射的一种特殊形式——函数

写出课题（板书）3.2函数

２．导入课题：我们先来看一个例子

（打出ppt）

 

〈师〉正方形的面积 与它的边长 存在确定的依赖关系，那么它们的关系可以用什么样的式子来表示呢？

〈生〉 ，

〈师〉而现实的世界里有许多量之间存在确定的依赖关系，当一个量发生变化时，另一个量也随之而发生变化（引出变量的概念）

   ３．概念介绍：

　　　（板书）(１)变量：我们把某一过程中可以取不同值的量称为变量

　　　（板书）（２）常量：始终保持不变的量称为常量（也称作常数）

　　　　　〈师〉变量与常量之间的区别是什么？

　　　　　〈生〉主要区别是变量可以取两个或两个值以上，而常量是一成不变的值

　　　　　　　 向学生强调我们一般把常量叫成常数，举例

〈师〉哪些是变量？哪些是变量？

〈生〉 是变量， 是常量

 

〈师〉我们初中对函数是怎样定义的？

〈生〉设在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于 的每一个值， 都有惟一的一个值与它对应，那么就说 是 的函数

　（板书）（３）函数：如果在某一过程中有两个变量 ，对于 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则 都有惟一的值与它对应，则把 叫做 的函数． 叫做自变量， 叫做因变量

　　　　〈师〉自变量与变量的区别是什么？

        〈生〉自变量也是变量，变量则不一定是自变量

（4）数集与函数

自变量 的取值范围为

    是从集合 中取得的

都为实数集中的非空子集

（板书）（5）函数的另一种定义：是非空数集到非空数集的一个映射

（板书）（6）函数概念的推广：把任一非空集合到数集的映射称为函数

            〈生〉：以上都是广义上的函数，因为都是任意一个集合到数集的映射都叫做函数

            〈师〉例如：

在数字电路中，我们可以这样定义一个函数： ，把开关的开设为1，开关的关设为0

         〈师〉：我们初中里学了哪些函数呢？

 

4．函数三要素：（板书）

   〈师〉：对于 ： 映射由哪几部分组成？

   〈生〉： 由定义域，陪域和对应法则组成

（引导学生了解函数的三要素）

（1）       函数的三要素：定义域，陪域，对应法则

两个函数相等：定义域相等，陪域相等，对应法则相等

提醒学生注意陪域与值域的区别，因为值域是由定义域和对应法则来共同决定的

对应法则相同即对于定义域中每一个元素 都有

（2）       函数的记法：（板书）

也可以记成：

对于 ， 在 下的象 称为函数 在 处的函数值，所有函数值组成的集合称为 的值域 ，  记做  即

强调： 的值域是 的陪域的子集，

〈师〉：函数值 与因变量 的区别？

〈生〉：函数值为一常量，而 为变量

提醒：通常把陪域取成实数集

5．例题讲解

例1   已知函数 _，试求  (板书)

　　分析：首先让学生认清 的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行计算．

　　含义1：当自变量 取3时，对应的函数值即 ；

　　含义2：定义域中原象3的象 ，根据求象的方法知 ．而 应表示原象 的象，即 ．

计算之后，要求学生了解 与 的区别， 是常量，而 是变量， 只是 中一个特殊值．

6．  练习：  当 时的函数值

答案：

7．小结            

　　1. 函数的定义

　　2. 对函数三要素的认识

3. 对函数符号的认识

8．作业：P84   4，5

 (9)．板书设计

 

《反函数》说课

 

  说课内容：《高中代数》（必修本）上册第1.11节

一、说教材

1、地位与重要性

     “反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。

    2、教学目标  

  （1）使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；

  （2）使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；

  （3）培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力；

  （4）使学生树立对立统一的辩证思维观点。

  3、教学重难点

    重点是反函数的概念及反函数的求法。理解反函数概念并求出函数的反函数是高一代数教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。

    难点是反函数概念的接受与理解。学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。教学中复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。

二、说教法

根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。

引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”。

电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现。另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。

三、说学法

 “授人以鱼，不如授人以渔”，在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。整个过程贯穿“怀疑”——“思索”——“发现”——“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。

四、说过程

在新课导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求发挥学生自我发现的能力，突出学生的教学主体地位，以启发、引导为教师的责任。

一、新课导入

首先，在导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？

首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电脑动画，以函数y=2x来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x→y的单值对应，例如：１→２，２→４，３→６，……若将定义域与值域互换，则对应变为２→１，４→２，６→３，…这种对应是否构成单值对应，即映射呢？这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。

这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。

二、新课讲授

在导入的基础上，给出反函数的具体概念。

给出概念后，必须防止学生对于反函数f^-1(y)形式的误解（以为是1/f(x)）。此外，还要学生理解：最终的表达形式写为y=f^-1(x)是顺应习惯，并且也为后面的图象研究提供方便，y实际上是原函数中的x，x是原函数中的y。对于这一问题可以引导学生从图象观察得出。

进一步深化对概念的理解，出示电脑幻灯，设置疑问：（1）反函数是不是函数；（2）反函数有没有三要素？如何确定？

引导学生思索，学生逐渐会认识到：反函数也是函数，其定义域是原函数的值域，对应法则可由原函数得到，值域则是原函数的定义域。

这时，给出电脑动画，指明反函数与原函数的关系。澄清学生对于概念的认识，抓住问题的关键。

但是，具体怎样求一个函数的反函数呢？

这些问题，必须通过实例解决，于是进入例题解答过程。

例1、  求下列函数的反函数。

（1）y=3x-1(x∈R)；          (2)y=x³+1；

（3）y=(2x+3)/(x-1)(x∈R且x≠1)

通过例1，要使学生明白具体求反函数的过程。以达到突出重点、突破难点的目的。

启发学生：既然反函数也存在三要素，那如何一一求出，得到具体的反函数呢？这时结合第（1）小题，让学生思考问题。引导学生找出关键     通过解关于x的方程，将x用y表达，以得到反函数的表达式。这个表达式中的x、 y表示什么？这和我们通常的函数表达式有什么区别？进而引导学生想到交换x、 y得到我们习惯使用的函数表达式。再考虑：反函数的定义域、值域怎么求？是怎样来的？学生思考后，可得出通过求原函数值域来得到反函数的定义域的方法。

教师板书第（1）小题，学生完成后两题。

此时，引导学生比较三道小题的解题步骤，师生共同小结出求反函数的三部曲：反解（把解析式看作x的方程，求出反函数的解析式）--→互换（求出所给函数的值域并把它改换成反函数的定义域）--→改写（将函数写成y=f^-1(x)的形式）。

教师在这一部分教学中，抓住反函数是函数这一本质问题，突出了反函数与原函数之间的联系，给出了具体求解的过程，使学生掌握了重点问题的解决方法。教师以一个个问题来引导学生逐步“发现”解决问题的方法，符合学生的认知水平。在教师创设的问题情境中，学生的认识达到了第一次平衡。

“反函数的概念已经理解，反函数也会求了，任务已基本完成，该休息了”，有的学生会这样想。这时，出示第二道例题，打破平衡，激起学生的疑难。

例2、（1）y=x²(x∈R)的反函数              

     （2）y=x²(x≥0)的反函数是             

     （3）y=x²(x<0)的反函数是             

相当一部分同学会按部就班求出第（1）小题的“反函数” y=     (x∈R)。这对不对呢？出示电脑动画，引导学生观察图象，从函数的概念出发，必须存在x→y的单值对应，但反过来呢？y→x存不存在单值对应呢？适当的引导提问，使学生抓住了问题的关键：在原函数的定义域内必须存在y→x的单值对应，这是反函数存在的前提。认清这一问题后，引导学生进一步分析，y=x²(x∈R)不存在反函数，在定义域的局部存不存在反函数呢？让学生借助图形发现答案，并且进一步得出y=x²(x≥0)，y=x²(x<0)两个函数的反函数。这样，就突破了主要难点，澄清了概念，并为以后反正弦函数的教学做好理论准备。

这样设计的好处是：（1）通过函数图像来研究问题，直观形象，符合学生的认识水平，并且为后续的互为反函数的函数图像关系问题做好铺垫。（2）对于反函数的存在性问题，不能回避，必须使学生理解其内在含义，由具体的二次函数结合图像解决这一问题，可以澄清的学生的疑问，达到教学目标。

此时，趁学生对于概念有了一个比较清晰的认识，出示幻灯，从函数概念、反函数的存在性、反函数的求法三方面进行简单的归纳，突出重点，突破难点。

三、终结阶段

  （一）课堂练习

    出示电脑幻灯，让学生完成以下练习：

    （1）函数y=2|x|在下列哪个定义区间内不存在反函数？ （     ）

  （A）[2，4]；   （B）[-4，4]  （C）（0，+∞]  （D）（-∞，0]

 (2)求反函数：y=x/(2x+5),(x∈R且x≠-5/3)

（3）已知y=         ，x∈[0,5/2],求出它的反函数，并指明定义域。

第一道题是概念题，使学生对于反函数的概念有更清晰的认识，使学生对于反函数的存在条件认识更深刻。第二道题使学生熟悉反函数的求法，突出重点。第三道题使学生加深对于概念的理解，弄清反函数与原函数的内在关系。

  （二）小结归纳

    通过对反函数概念和性质的小结，使学生理清这节课的重难点，并使终结阶段的教学更为完整，达到本堂课的教学目标。

让学生做课本P65习题六2、3、5，通过作业反馈学生掌握知识的效果，以利课后解决学生尚有疑难的地方。

布置一道发散性的练习（已知函数y=f(x),（x∈A）是增函数，问：反函数y=f^-1(x)单调性如何？图象中如何反映？），进一步深化教学。

总之，在整个教学过程中，我抓住学生的“主体”作用作文章，不浪费任何一个促使学生“自省”的机会，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。

 

附：

一、板书设计：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二、电脑课件说明：课件用POWERPOINT97编制，演示时需电脑主机一台（要求运运行WINDOWS95操作系统，内存64兆，显示卡带视频输出），电脑投影屏幕一个）。