《“计算验证”在中学教学中应用案例一则

 

                                        ——猜测验证的直观体验

 

随着多媒体信息技术的普及，在教学实践中利用信息技术辅助教学，已经非常成熟。教师可以借助于多媒体强大的信息交互能力，培养学生观察、类比、猜测、验证（计算论证）的思维过程，进一步提高学生发现问题—分析问题—解决问题的自主探究能力。特别是在计算机快捷的运算能力的辅助下，会大大提升学生探索问题的信心和勇气。本文就一节研究性课《圆锥曲线的切线方程》来说明信息技术在猜测验证中的应用。

一、    探究背景

在完成《圆锥曲线方程》这章教学后，学生已经了解圆锥曲线是由平面截圆锥面所得到的曲线，而且圆也是垂直于圆锥旋转轴的平面截圆锥面得到的曲线，也就是说圆也是一种特殊的圆锥曲线，为此关于圆锥曲线的性质能不能通过特殊的圆锥曲线圆的性质进行类比的方式探究获得呢？笔者提出问题的学生元认知是“过圆上任意一点的切线问题”；探索学生的新认知是“过圆锥曲线上任意一点的切线问题”。虽然教材中没有涉及到此问题，但笔者认为引导学生去探究这个问题，有助于学生对切线问题认识的深度与广度，对培养学生的发散思维有着积极的意义，同时还充实了圆锥曲线问题的内涵，对问题的完备性加以补充。但是就现在学生的知识层面去严格证明论证上述问题是难以做到的，迫于这些困难，笔者提出了通过计算机的计算验证的方式给出问题直观的证明，让学生避开理论论证的前提下，先获得问题的直观论证。希望在不增加知识深度的前提下，给予学生足够的勇气探究深度与广度的问题，并获得直观的认识，培养看待问题时的发散思维。为此笔者想通过这堂圆锥曲线研究性课进行尝试体验。

问题：请分析一下过定点的直线与圆相切的情况；

生1：当点在圆外时，有两条切线；当点在圆上时，只有一条切线；当点在圆内时，没有切线；

板书：设点在圆上时，其切线方程是什么呢？

生2：切线方程为                      板书：

师：这个方程我们早就知道了，而且论证过，不过今天我们要通过计算机技术让我们再次体验一下这种结果吧。

几何画板验证演示：

（说明：建立坐标系，确定圆的半径r，构造圆心在原点的圆，再在圆上取任意点P，求出横纵坐标，进而求出圆的切线方程L：，利用电脑直接描点绘制直线L，观察发现与圆是相切的，并且当点P在圆上运动时，直线L都与圆保持相切的状态）

生3：这种感觉真好，自己验证过，就是放心啦！

师：对，不过同学们有没有发现其切线方程的形式非常的对称啊！

生4：对啊，只要把点的横坐标、纵坐标代入到圆方程中看成两个x，y相乘中的一个即可获得圆的切线方程啦！

师：不错，不错，对于过（特殊的圆锥曲线—圆）上任意一点的切线方程，从形式上就是这么的完美，这就是数学的对称美啊！（不断通过强调圆是特殊的圆锥曲线来引导启发学生大胆的猜测圆锥曲线是否具有同样的性质）

二、    探究过程

生5：老师，圆是一种特殊的圆锥曲线，那对于其他的圆锥曲线如椭圆，是不是也有同样的性质呢？

师：这个问题问的不错，那我们不妨大胆试一试猜猜看，过椭圆上点的切线方程会是怎样的呢？

生6：因为椭圆的方程为，若设在椭圆上时，过点P的切线方程可能为：；

师：有点味道，敏锐的观察力、大胆合理的猜测，是创造型人才必须具备的素质哦，不错！那我们的猜测正确吗？能不能给出严格的证明呢？

生7：嘻嘻，老师我们都不知道是否真的成立，随便猜猜的怎么证呢？

生8：是啊！不过，老师我们能不能先通过计算机，像验证圆那样验证椭圆，让我们先看一看结果，你说好不好。

师：哦！这方法不错，那我们就马上开始行动吧！

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