新课标下数学建模题、开放题的评价功能探析

我们参加了华南师范大学高凌飚教授主持的课题《新课程背景下高中学生学业成绩评定研究》，在专家的指导下，制定了《必修模块的终结性评价方案》，并依据方案进行了终结性评价。我们发现不同类型的试题对评价学生各方面的能力的评价功能不同，特别是数学建模题、开放题的评价功能对新课标下的学生学业评价有重大意义和作用。为了读者方便，我们把建模题和开放题展示如下，然后对试题的评价功能进行探析。

 

 

本次测验题中解答题采用了六个题，其中13、14、15是测试基础知识和基本技能的常规题。16、17、18是建模题和开放题。旨在培养学生的数学应用能力、数学思想及数学观念。现将试题及解答题考试效果展示如下；

16、（本题8分）两份资料提供了两条看起来似乎矛盾的信息:

a)美国的农场从1982年的平均每农场428英亩逐年上升到1987年的平均每农场461英亩,似乎说明农业生产规模的扩大(下图1)

b)美国的农场数从1982年的240.1万个减少为1987年的217.3万个,似乎说明农业生产规模的缩小(下图2)请根据这些信息做出判断,农业生产规模究竟是扩大了,还是缩小了?

17、（本题10分）如图是一次舞会的盈利额P同售票数之间的关系图（其中保险部门规定：人数超过150的时候，须缴纳一定的公安保险等费用），请求出它的函数表达式，并写一段文字对图像从不同角度（如成本，赚钱，赔本等方面）加以解释

18、（本题8分）某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后各月的产量，以这三个月产品数为依据，用一个函数模拟此产品的月产量y（万件）与月份数x的关系，模拟函数可以选取二次函数y=px²+qx+r或函数y=ab^x+c（其中p、q、r、a、b、c均为常数），已知4月份该新产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？求出此函数。

解答题得分情况如下表：

 

 

数学应用是一种意识，是数学教育的基本观点和态度。本次测试将能力的评价贯穿在学生数学知识的建构过程与问题的解决过程中，通过知识的掌握和应用水平体现出学生的能力，在数学地提出、分析、解决问题方面做出一次大胆尝试，力求让学生学会数学化。例如第18题是一个实际情景问题的数学建模，旨在让学生学会运用数学方法处理问题。建模问题主要分为两个层次：其一是数学模型在问题情景中已经给出，利用所给的数学模型对问题进行定性、定量分析并求解；其二是数学模型在问题情景中没有给出，需要解题者自己探索出相应的数学模型。第18题属第一个层次。这类问题可以说已经做了初步的“数学化”加工，还需要解题者进一步“数学化”。第16题属第二个层次，考虑到新课改刚刚开始，数学建模应结合我校学生实际，所以没有出现难度较高的未做出任何“数学化”加工的建模问题。

本题要求学生理解相关的数学模型，参与数学化的过程，“数学化是学生的而不是教师的活动，或者至少应该是学生的，要想应用数学是不能都从应用中学到的，所谓的应用数学缺乏数学最大的效能及灵活性。自然界或社会中的一些问题情境的数学化不应该由教科书的作者或教师来示范说明，而应该引导或者留给学生去再创造。”从阅卷情况来看，在解答过程中，相当一部分同学都能进行定量计算，但不会进行定性分析，这说明数学化地分析问题还很薄弱，数学思想、数学观念的建立任重而道远，对传统的课程理念的改革已迫在眉睫。

钟善基先生提出：“对中学数学来说，对中学生来说，更重要的数学态度是指数学观念的建立”。数学观念是指用数学的眼光去认识和处理周围事物，要把数学关系成为学生的一种思维模式，所谓思维模式，是人们思维时所遵循的某种样板或格式。如黑格尔的三段论（正题、反题、合题），毛泽东的两点论，就是两种不同的思维模式。军事家喜欢把一切社会关系都比做打仗，用军事术语来说明各种实践活动，军事行动就成了他的一个思维模式。而数学家则善于或习惯于把什么都归结为数学关系，数学关系就成为他的一个思维模式。笛卡儿就曾经有一个期望，要将任何种类的问题化归为数学问题；再将任何种类的数学问题化归为代数问题；最后再将任何种类的代数问题化归为单个的方程求解。17世纪笛卡儿就是用这种思维模式创设了解析几何（亦称笛卡儿模型）。这是一种十分重要的数学观念，或者说这种强烈的“用数学”去思考问题的意识是十分重要的数学观念。目前课堂教学中，学生所要做的只是理解那些“需要”理解的数学内容，掌握那些“需要”掌握的问题，虽然这也是必要的，但整个教学过程中，学生很少感受到自我需要数学的意识，从而只有在数学课堂内才感受到数学的存在，或者在考场上才感受到它的威力，而在其他场合下并不感受到数学的存在和威力。学生学了十一二年数学，而没有感受到它的存在，这应该是数学教学的悲哀！或者说，学生的这种学习数学的态度要转变，教师的教学观念也要转变，而这种转变，只有借助数学观念的建立。

 数学教学功能的四个层次

数学教学与评价有如图四个层次

“解题术”的含义最具体，但功能性弱。如证三点共线、四点共圆的解题术，程序具体，易于复制，但应用面窄。

“解题方法”的含义与“解题术”相比较，程序性弱，但功能性强。如反证法、构造法、待定系数法等，程序不十分具体，不易复制，但应用面较宽。

“数学思想”虽抽象，其程序性更弱，但功能性强，它偏重于对其他两个层次的指导。从操作角度看，几乎无固定程序可寻。但数学思想不仅具有方法论的意义，更具有认识论的意义。唯有深入到这一层次的教学，才能使“培养能力”得以实现。

“数学观念”则是数学教学这一层次的最高境界，也是数学素质教育努力追求的目标。从外形上看几乎近于无形，而它又真实存在，不仅存在于解题过程中，而且存在于数学学习过程中，还存在于把客观事物都归结为一个数学关系的思维模式中（如近几年高考数学试卷中的应用题），因此，尽管一大部分学生离校后没有机会用数学，因而淡忘了数学，但深深印在他们头脑中的思维方法，研究方法等数学精神却随时随地发生作用，受益终身，这也就显示出恩格斯所说的“思维着的精神是世界上最美丽的花朵”的断言。

与其他事业不同，教育属未来事业，所谓“十年树木，百年树人”，在数学教学中，我们追求的不能只是低层次的，而应力求追求更高的层次。

 

 

美国加利福利亚洲教育局对开放题的教学与评价功能做出了以下阐释：

l          开放性问题为学生提出了自己进行思考并用他们的数学观念来表达的机会，这和他们在数学学习中的发展是一致的；

l          开放性问题要求学生构建他们自己的反应而不是选择一个简单的答案；

l          开放性问题允许学生表达他们对问题的深层次的理解，这在多项选择中无法做到；

l          开放性问题鼓励学生用不同的方法去解决问题，反过来要求教师用不同的方法解释数学概念；

l          开放性问题的模式是数学课堂教学和评价的基本成份。

我们尝试了以上观点。开放性试题（17）的命制基于以下观点：是否体现重要的数学思想及数学教育思想；引导学生关心社会发展，有利于培养学生的主体意识，体现数学的社会化功能；问题设计力求保持问题的实际背景，使学生在理解社会信息上不产生困难，考虑学生实际生活认识水平螺旋上升；问题的设计与课堂教学中的数学知识配套。一道好的开放题要求还可以很多，很难做到面面俱到，但在开放题设计中应作为一个目标来追求。

实际测验结果，从上表中可看出，在三种成绩中，常规题成绩最高，应用题次之，开放题与建模题较低，从标准差来看，正好相反。

这一现象反映了学生比较擅长解决常规问题，而解决非常规的问题的能力不足，数学思想及其应用观念有待加强。经过对测验结果的分析，我们看到虽然学生的开放性问题成绩比常规问题低，但学生在解决开放性问题时也呈现了一些多样化的思路，同时也显示出不同的思维层次，下表列出了各个思维层次的学生解答情况及参考评分情况。

本题总体的评价注意了以下方面：概念性知识、策略性知识和表达。主要侧重学生解决问题的思路，并且关注学生思维的独特性和深刻性。主要集中于评价学生解决问题的策略和思路，包括知识的策略和方法的策略，而不是主要考虑答案。评价分成定性分析和定量分析两步：第一，分析学生解题的基本思路理解层次；第二，根据思路是否合理进行理解层次是否逐步深刻评分和登记。结果表明，开放题得分较低，开放题主要考察学生高层次的思维能力。从阅卷过程看，学生对开放性问题的形式和要求不熟，这些问题是非常规的。这说明把开放题引入到考试中目前还比较困难，但这对于数学评价的改革及其评价学生创新思维等高层次的思维能力有积极意义。我们必须进一步研究数学开放题进入考试，其自身固有的价值是什么？数学开放题可用来考查学生的哪些素质？一般认为，开放题在考查学生潜质，特别是在考查一些与记忆性的基础知识和操作性的基本技能相比更高层次的思维能力方面，与传统的封闭题相比有其独特的作用。但这种认识只是基于一种经验的总结，并没有进行比较规范的科学论证，这应该成为我们今后研究的目标之一。

对测验结果的分析

传统的教学评估比较多的关注知识和技能的积累，因此并不能全面地反映学生的数学学习的结果。特别是质的结果。试验表明，开放题及相应的质的分析可以作为测度质化结果的基础。从本文统计结果中可以看到，学生解答常规题的表现较好，在开放题的解答方面，不少同学出现了一些好的思路及其数学意识，但总体成绩还较低，学生解答非常规问题的能力还比较弱，高层次的数学思维能力不足，造成这种情况的原因可能是：

第一，成绩的不平衡可能与学生的学习有关，学生可能在学习中偏重于行为的投入，而认知投入和情感投入不足，使学生全面地投入于数学教学过程之中是改变这种学习结果不平衡的重要途径，可以使“掌握基础知识、基本技能”与“发展创新能力”达到平衡。

第二，成绩的不平衡可能与教师的观念与教学策略也有关系。一些教师在教学中片面地强调学生的行为投入而没有注重学生的认知和情感的投入，在课堂教学中，例题和习题都是以封闭的形式出现。对学生探索性和开放性的教学学习关注不足。

第三，可能与传统的评估方法有关（特别在初中）。传统的评估主要涉及记忆性和技能性的认识，而较少涉及到数学思想及数学观念等高层次的思维能力，考试题目基本上都是常规题，并且是学生反复操练过的，缺少非常规的开放性问题，这在一定程度上表明，在目前的数学教育中，实施的是一种片面性评价。因此我们呼唤科学的，具有时代感的数学教育评价方式。

第四，可能与社会文化背景有关。中国几千年的封建社会，存在着一定的“科举文化”的影响。“学而优则仕”，读数学的目的似乎是理想大学的“敲门砖”。因此，对成绩的关注超过了对数学创新学习的热情。这种情况的影响也不可低估。

                                                                                    作者： 广东省南海桂城中学  陈旭武  董磊  陈丽仕

 

 

1.高凌飚《国家新课程改革中的评价改革》

2.普通高中《数学课程标准》，人民教育出版社，2004年4月。

3.《开放题——数学教学的新模式》，戴再平等著，上海教育出版社，2003年10月

4.《新课程视野中的数学教育》，周小川等著，四川大学出版社，2003年11月

5.《数学基础知识、基本技能教学研究探索》，张奠宙等著，华东师范院大学出版社，2003年5月

6.《数学新题型研究》，张奠宙等著，华东师范院大学出版社，2003年5月

7.《新课程改革实用导读》，孙立春著，山东教育出版社，2003年

8.费赖登塔尔.数学教育再探,上海教育出版社1999年