高中生数学建模意识和建模能力调查分析报告

 

——一道数学知识应用竞赛题目的解答情况

广州市47中学  段锦矿  510640

 

[摘要]笔者在2004年5月参加了广州市首届高中数学知识应用竞赛的评卷工作，对试卷压轴题做了抽样分析，从中对高中生数学建模意识和建模能力进行分析。通过对这道高中数学知识应用竞赛题解答情况的分析，我们了解到学生数学建模意识和建模能力的现状不容乐观。[t1] 

[关键词]数学建模，数学知识应用竞赛，抽样分析

 

 

      高中新课标的基本理念之一是“发展学生的数学应用意识”，并且提出高中数学课程要把数学建模的思想渗透在各模块内容之中，并在高中阶段至少安排一次数学建模活动。那么当前我国高中学生的数学建模意识和建模能力如何呢？日前，广州市举行了首届高中数学知识应用竞赛决赛，笔者有幸参加了阅卷工作并对其中一题的解答情况并作了抽样分析，希望能对当前高中学生的数学建模意识和能力得到“管中窥豹”的了解。[t2] 

 

一、抽样题目的背景资料

      广州市首届高中数学知识应用竞赛决赛举行时间为2004年5月16日，参加人员为广州市经过初赛选拔的高二和部分高一高三学生，竞赛组织缜密，具有较高的信度。竞赛题目类型设置为选择题、填空题和解答题各四道，题目内容涉及到高一和高二所学知识，考试时间为120分钟，全卷满分100分。[t3] 

      本文分析的题目为最后一题，分数为15分，题目内容如下：

      某市教育局组织了一项竞赛，聘请了来自不同学校的数名教师做评委组成评判组。本次竞赛制定四条评分规则，内容如下：

（1） 评委对本校选手不打分。

（2） 每位评委对每位参赛选手（除本校选手外）都必须打分，且所打分数不相同。

（3） 评委打分方法为：倒数第一名记1分，倒数第二名记2分，依次类推。

（4） 比赛结束后，求出各选手的平均分，按平均分从高到低排序，依此确定本次竞赛的名次，以平均分最高者为第一名，依次类推。

本次比赛中，选手甲所在学校有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评分，其他选手所在学校无人担任评委。

   （Ⅰ）公布评分规则后，其他选手觉得这种评分规则对甲更有利，请问这种看法是否有道理？（请说明理由）

   （Ⅱ）能否给这次比赛制定更公平的评分规则？若能，请你给出一个更公平的评分规则，并说明理由。[t4] 

      本题是试卷中比较具有“数学建模”味道的一题，题目所要用到的数学知识并不难，但需要学生建立数学模型来衡量什么是“公平的评分规则”，为了建立数学模型，需要作出适当的假设，最后还要对模型进行讨论和分析，对于“更公平的评分规则”，可以从不同的角度去入手，最后得出不同的修正方法，有“殊途同归”之妙。

      这么一道比较适合高中生的数学建模问题，学生解答情况如何呢？

 

二、抽样题目的量化分析

      抽样方法。决赛共120个试室，每试室40人，共4800人，笔者采取两阶段随机抽样和系统抽样的方法，抽取03试室的01号，06试室的02号，…，3k试室的k号（0≤k≤40），样本容量为40，同时记录第12题得分和总分。

   对抽样方法的讨论。考虑到试室分布是按广州市各区进行[t5] 排列的，且每区所占试室数为超过10个，上述第一阶段抽取3k试室的方法会兼顾到各区。考虑到可能试室座位编排可能会把成绩好的同学排在前面，抽取固定座位号可能会有失偏颇，因此在第二阶段的抽样中分别抽取01，02，…40号。关于样本容量，根据从有限总体抽样进行平均数估计时样本容量计算公式 最大允许误差）可得，在要求95%可信度的情况下，抽取40个样本可以达到最大允许误差为0.56，考虑到本题总分为15分，这样的误差是可以接受的。

   抽样结果与分析：

   总体平均数的区间估计。根据总体方差未知时总体平均数估计方法，样本平均数为1.725,样本标准差S=1.83，所以 = 0.293，查 ，所以.95的置信间距为1.725 2.021 0.293=1.13-2.31，即本题总体平均得分估计在1.13-2.31之间，作此结论正确的概率是95%，错误的概率是5%。[t6] 

   总体方差的区间估计。根据标准差的区间估计方法， = 0.207，因此总体方差.95的置信间距为1.853 2.021 0.207=1.39-2.31，即本题得分总体方差估计在1.39-2.31之间，作此结论正确的概率是95%，错误的概率是5%。

   由此我们可以看到，学生对于本题的解答情况是比较差的。考虑到参赛的还是经过初赛选拔的、数学成绩相对较好的同学，因此高中生的数学建模意识和数学建模能力令人担忧。笔者在阅卷的过程中对学生解答情况做了归纳，希望从这些典型的解答中对高中生建模意识和能力做一个质性分析。[t7] 

 

三、高中生建模意识和建模能力质性研究

   在阅卷过程中，笔者发现本题是一道开放性很强的好题，给学生留有很大的发挥空间，不少学生能从不同的角度来尝试解决问题，有不少好的解法。本文侧重揭示从这道题反映出学生数学建模方面的问题，总体上有以下方面：

   （1）数学阅读能力差，误解题意。[t8] 

   正确阅读、弄清题意是解决问题的前提，而在所抽取的40个样本中有13个得分为零，不少学生为空白，究其原因可能除了时间因素（事实上两个小时的时间较为充裕），学生对于较长的文字表述产生畏惧心理、不能正确阅读是重要因素。

同时，一些学生由于不能正确理解规则（3），得出选手甲的平均得分为 ，其他选手的平均得分为 ，从而得出错误结论，而实际上述应该是选手甲所在学校的评委和其他评委所打的平均分。

   （2）理性思维有待加强。[t9] 

   不少学生在正确理解题意的基础上，提出了“规则对甲有利”的理由，例如：排名在甲前的同学少得了1分；甲所在学校的评委的评分总分比其他评委少；甲所在学校的评委不给其他选手最高分（n分），所以甲得最高分的概率比其他选手高；相当于甲所在学校的评委把最高分给了甲；甲少拿一个分数，若少拿最低分，则有利；若少拿最高分，则不利；等等。

   以上各种想法都有道理，遗憾的是大部分学生仅仅停留在这些感性认识和文字说明上，没能进一步引进数学模型和数学符号去进行理性的分析，因此数学建模意识很有待加强。

   （3）数学建模方法需要提高。[t10] 

   建模之前，通过假设把所研究的问题进行简化，明确模型中需要考虑的因素以及他们在问题中的作用是非常必要的。作出必要的假设是数学建模方法中的重要一环，而在学生的解答中极少见到能作出假设的。事实上，本题作出“每位评委非常公正”和“在选手水平相同情况下，评委随机打分”的假设是非常必要的，不少学生出现“甲所在学校的评委会故意压低其他选手的分数，因而对甲有利”的理由就是这个原因，不作出这个假设，本题的讨论就没有意义了。

   如何衡量规则的公平性是本题的关键，也是建模的原则。很少有学生能够明确提出这个原则，标准答案给的是“在随机情况下，以每位选手所得平均分是否相等，来判定此评分规则是否公正”，实际上还有其他的衡量方法，例如“每位选手得某个分数的概率是否相等”等。

   以上反映出学生对于数学建模的基本方法和步骤不够明确，建模技巧需要提高。

（4）数学应用意识不尽人意[t11] 

数学模型来源于生活，解决的是实际问题，得到的结果和模型的修正都要符合实际，这是数学模型的重要思想。不少学生在第2问评分规则的修正中，提出“将甲所在学校的评委从评判组中剔除掉”，这种办法违背实际的要求。而另一方面，不少学生被生活中一些现象误导，提出“去掉最高分和最低分”的评分规则修正方法，而不去从数学的角度分析和研究。

   当然，本题作为一个开放性的问题，也给了学生发挥创造性的空间，不少学生都有精彩的表现，例如关于评分规则的修正，就有下列几种方案：[t12] 

   方案1：将选手甲所在学校评委的评分方法改为倒数第一名记1+ 分，倒数第二名记2+ ，…依次类推；（评分标准）

   方案2：将选手甲所在学校评委的评分方法改为在原来的基础上乘以 ；

   方案3：对甲评分时，用其他评委的平均分计做甲所在学校评委的打分；

   方案4：对其他选手，随机选取一位评委不打分，从而使每位选手打分人数相同；

   总之，通过对这道高中数学知识应用竞赛题解答情况的分析，我们了解到学生数学建模意识和建模能力的现状不容乐观。新课程标准给数学建模提出了更高的要求，也为中学数学建模的发展提供了很好的契机，相信随着新课程的实施，我们高中生的数学建模意识和建模能力会有大的提高！

 

 

   参考文献：

1．            张厚粲编著，心理与教育统计学，北京：北京师范大学出版社，1997.3

2．            刘来福、曾文艺编著，问题解决的数学模型方法，北京：北京师范大学出版社，1999.8

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