2006年南京工业大学数学建模竞赛、选拔试题

 

一、答卷要求：数模答卷是评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别的唯一依据。评阅原则是：假设的合理性，建模的创造性，结果的合理性，表述的清晰程度。一般来说，论文答卷包括：
     (0)． 摘 要
     (1)． 问题的叙述，问题的分析，背景的分析等 
     (2)． 模型的假设，符号说明
     (3)． 模型的建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型 等）
     (4)． 问题的模型求解
     (5)． 结果表示、分析与检验
     (6)． 模型评价，改进
     (7)． 参考文献
     (8)． 附录（包括模型求解的程序）

等方面，参赛队可尽量按此提示准备你们的论文。有创新性但不很完整的论文，也可参加评奖。

各参赛队可从A、B、C三题中任选一题解答，独立完成，试题不允许网上上传求助等！

 

二、竞赛时间：06年6月8号晚20:00至6月12（下个星期一）晚20:00。请大家按时上交论文至：

论文首页上务必放上各参赛队的队员报名表，并注明解答的是哪一题。

 

三、上机安排：06年6月8号晚20:00至6月12（下个星期一）晚20:00的竞赛期间，参赛学生凭学生证每天8:00-21:30可以到学校计算中心（明德楼3楼）上机。

 

预祝大家取得好成绩！

 

 

06. 6. 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

某理发店有两位师傅和三位学徒，营业时间从早晨9：00到晚上9：00，服务类型有理发、理发和洗发、理发和洗发加吹风、烫发、染发（你可以到附近的理发店了解一下，适当增减），已知师傅的平均服务时间为3、5、7、15、25分钟（学徒的平均服务时间是师傅的1.5倍），不过需要说明的是理发师服务于每个顾客的时间是随机的。已知该理发店的生意在中午和晚上特别好，时常会出现排队等待的现象，老板还发现有的顾客因为不愿意等太长时间而离去。你能通过数学建模为老板提供些什么样的建设性意见吗？

 

假想在一个较平滑的曲面上的某定点处有个小铁球从静止开始向下滚动，本题需要大家研究小球滚动的时间与轨迹问题，具体是：

1）设在摩擦系数为 的曲面 上（1,1,1）点处（长度单位为1米，下同），有一个质量为m=50（g）的小球从静止开始向下滚动，问从开始到小球到达第一次的最低点时所花费的时间为多少？

2）假如某二次曲面方程未知，但其在矩形区域[0：4；0：4]上各点（区域分割步长为0.1）的高度如数据文件curve_data）（见附件一curve_data）       

                     表内为对应于(x, y)点处的曲面高度z

假设小球与曲面无摩擦。在曲面上（2,3,5）点处质量为m=50（g）的小球从静止开始向下滚动，问能否估计出从开始到小球到达第一次的最低点时小球滚动的轨迹与所花费的时间为多少？

3）虑在摩擦系数同样为 的曲面 上（2,1,3）点处，质量为m=50（g）的小球从静止开始向下滚动时，从开始到小球到达第一次的最低点时小球滚动的轨迹与所花费的时间为多少？

 

某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。

一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。

试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？

二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。

8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)

试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。

三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。

对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。

项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。

各投资项目的投资上限见表4。

在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？

四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。

如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？

五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?

 

附：

表1.  投资项目预计到期利润率及投资上限

项目	1	2	3	4	5	6	7	8
预计到期利润率（%）	0.1	0.11	0.25	0.27	0.45	0.5	0.8	0.55
上限（万元）	60000	30000	40000	30000	30000	20000	40000	30000

注：到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。

 

表2. 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）

项目		1	2	3	4	5	6	7	8
1986	投资额	3003	5741	4307	5755	4352	3015	6977	4993
	到期利润	479	126	1338	910	-7955	5586	22591	8987
1987	投资额	7232	6886	5070	7929	7480	5463	3041	4830
	到期利润	1211	164	2210	1539	5044	-1158	6386	9398
1988	投资额	3345	5659	6665	7513	5978	4558	5055	4501
	到期利润	507	629	2540	1233	-3608	-6112	36832	10355
1989	投资额	5308	6272	6333	6749	4034	7392	6442	4092
	到期利润	787	602	836	1616	8081	4946	16834	-7266
1990	投资额	4597	5294	5148	5384	6220	6068	6095	5270
	到期利润	711	365	2765	1099	22300	8319	-19618	-2697
1991	投资额	4378	5095	5973	7294	6916	6276	7763	6335
	到期利润	756	621	2549	1559	5130	-9028	22230	2733
1992	投资额	6486	7821	4449	5586	5812	6577	6276	5848
	到期利润	846	935	1078	1006	9358	1318	-59901	24709
1993	投资额	6974	3393	4268	5414	5589	4472	6863	3570
	到期利润	1489	593	1955	1740	9207	4237	38552	14511
1994	投资额	4116	4618	5474	6473	5073	6345	6866	3044
	到期利润	353	749	2041	1548	7044	-2291	-39691	4570
1995	投资额	7403	5033	6859	6707	5377	4783	5202	6355
	到期利润	1117	911	1392	1168	7488	1464	70314	19245
1996	投资额	4237	4996	5603	5597	5231	4181	6830	5018
	到期利润	571	964	3077	1881	7209	5721	-21568	5075
1997	投资额	3051	5707	4877	3844	7434	4222	5370	5960
	到期利润	449	868	1138	1131	5196	3173	99069	14864
1998	投资额	7574	5052	5460	3681	7936	7745	6391	3861
	到期利润	1396	958	1372	1221	5849	10740	-27334	-4626
1999	投资额	3510	5870	5697	5701	3898	7216	5135	4218
	到期利润	364	1089	1456	1757	-629	10770	-24878	-5786
2000	投资额	6879	7396	5516	5623	7471	5501	3174	4210
	到期利润	994	1558	2864	1461	7769	7151	8981	21833
2001	投资额	3511	4780	6255	6925	6598	6043	4862	7988
	到期利润	638	1175	3230	2223	8020	7916	-46712	21357
2002	投资额	3660	7741	4315	4379	7120	6131	3661	5393
	到期利润	538	1527	1155	1494	4616	6411	64239	-11538
2003	投资额	4486	4756	3871	5529	5807	5576		3029
	到期利润	466	862	1022	2046	5395	6178		11819
2004	投资额	7280	7312	6471	7760
	到期利润	1389	1319	2060	3227
2005	投资额	3082	5083
	到期利润	403	787

 

表3. 一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元）

项目		同时投资项目1、2		同时投资项目5、6		同时投资项目5、6、8
		3	4	5	6	5	6	8
1986	投资额	4307	5755	4352	3015	4352	3015	4993
	到期利润	1026	2686	1442	2634	6678	2542	-3145
1987	投资额	5070	7929	7480	5463	7480	5463	4830
	到期利润	2188	3558	3009	2935	-3861	15120	13270
1988	投资额	6665	7513	5978	4558	5978	4558	4501
	到期利润	3272	3222	443	14400	4794	1884	-3356
1989	投资额	6333	6749	4034	7392	4034	7392	4092
	到期利润	2050	2778	344	4473	3002	1549	10820
1990	投资额	5148	5384	6220	6068	6220	6068	5270
	到期利润	1513	2533	601	-6448	-852	-4651	-1593
1991	投资额	5973	7294	6916	6276	6916	6276	6335
	到期利润	2733	3542	10300	9217	20610	5595	7283
1992	投资额	4449	5586	5812	6577	5812	6577	5848
	到期利润	3005	2448	318	1087	4750	-179	14000
1993	投资额	4268	5414	5589	4472	5589	4472	3570
	到期利润	2015	2609	5168	-2930	3170	-235	14460
1994	投资额	5474	6473	5073	6345	5073	6345	3044
	到期利润	1782	2969	-981	2413	7304	19090	7065
1995	投资额	6859	6707	5377	4783	5377	4783	6355
	到期利润	3701	2636	6695	52	3795	2029	10510
1996	投资额	5603	5597	5231	4181	5231	4181	5018
	到期利润	3581	1809	952	844	-2671	6334	12970
1997	投资额	4877	3844	7434	4222	7434	4222	5960
	到期利润	1510	1724	-124	8984	-4299	3307	10170
1998	投资额	5460	3681	7936	7745	7936	7745	3861
	到期利润	3996	1450	7717	2803	8062	6753	10050
1999	投资额	5697	5701	3898	7216	3898	7216	4218
	到期利润	3204	2488	7598	-4722	-968	14900	-2294
2000	投资额	5516	5623	7471	5501	7471	5501	4210
	到期利润	1454	2199	7518	9321	6580	2131	10060
2001	投资额	6255	6925	6598	6043	6598	6043	7988
	到期利润	3258	2646	8671	-6551	11460	-4521	-8039
2002	投资额	4315	4379	7120	6131	7120	6131	5393
	到期利润	2661	1984	2029	20300	4379	1035	4456
2003	投资额	3871	5529	5807	5576	5807	5576	3029
	到期利润	1800	2443	7424	8639	12680	5112	2154
2004	投资额	6471	7760
	到期利润	3047	3682
2005	投资额
	到期利润

 

表4.  各投资项目的投资上限

项目	1	2	3	4	5	6	7	8
上限（万元）	60000	60000	35000	30000	30000	40000	30000	30000