数学模型与数学建模及其过程2

 

　　数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学模型是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。

　　数学建模：(Mathematical Modelling)把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。

　　数学建模的几个过程：
　　模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
　　模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
　　模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）
　　模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
　　模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
　　模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
　　模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

在气象学中，经常碰到测量降雨量，预报台风、沙暴、寒流中心运动规律，预测水位上涨等问题．这类问题常转化为数学问题来求解，现举例说明．

　　

一、测量降雨量
　　例1　降雨量是指水平地面单位面积上所降雨水的深度．现用上口直径为32ｃｍ，底面直径为24ｃｍ，深为35ｃｍ的圆台形水桶来测量降雨量．如果在一次降雨过程中，此桶中的雨水深为桶深的四分之一，则此次降雨量为多少ｍｍ？（精确到1ｍｍ）

　　分析：要求降雨量，只要求出单位面积上所降雨水的深度，而单位面积上雨水的深度可通过等积来求解．
　　解：由题意知，圆台形水桶的水深为Ｏ1Ｏ2＝35/4ｃｍ，又因为Ａ1Ｂ1/Ａ2Ｂ1＝ＡＢ/Ａ2Ｂ，所以Ａ1Ｂ1＝ＡＢ·Ａ2Ｂ1/Ａ2Ｂ＝＝1，所以，水面半径Ｏ1Ａ1＝12＋1＝13（ｃｍ），故桶中雨水的体积是Ｖ水＝1/3π（122＋12×13＋132）×（35/4）＝16415/12π（ｃｍ）．

　　因为，水桶上口的面积为Ｓ上＝π·162＝256π（ｃｍ2），设每1ｃｍ2的降雨量是ｘｃｍ，则
　　ｘ＝Ｖ水/Ｓ上＝（16415π/12）·（1/256π）≈53（ｃｍ）．
　　所以，降雨量约为53ｍｍ．

说明：此题除了要明确降雨量的概念外，还需要深刻理解题意，得出降雨量的计算方法．为何用盛得雨水的体积除以桶口面积，而不是除以水面面积或者其他面积？这里的分析、推理有一定的难度．其实在降雨过程中，雨水是"落入"水桶口里，因此盛得雨水体积的多少只与水桶口的大小有关，与桶本身的形状无关．由此不难理解上述计算降雨量的方法．

　　二、台风预报
　　例2　据气象台预报，在S岛正东300ｋｍ的Ａ处有一个台风中心形成，并以每小时40ｋｍ的速度向西北方向移动，在距台风中心250ｋｍ以内的地区将受其影响．问：从现在起经过多长的时间台风将影响S岛，并持续多长时间？

　　分析：台风中心在运动，它的运动规律是什么？我们可以建立一个坐标系来研究这一问题．

视S岛为原点，如图2所示，建立平面直角坐标系ｘＳｙ，则Ａ处的坐标为（300，0），圆S的方程为ｘ2＋ｙ2＝2502．易知当台风中心在圆S上或内部时，台风将影响 S岛，又知台风中心以每小时40ｋｍ的速度向西北方向移动，于是可设台风中心所在射线ｌ的参数方程为
　　ｘ＝300＋40ｔｃｏｓ135°，（ｔ≥0）
　　ｙ＝40ｔｓｉｎ135°（ｔ≥0），
　　其中，参数ｔ的物理意义是时间（小时）．
　　于是问题转化为"当时间ｔ在何范围内，台风中心在圆S的内部或边界上"．

　　解：设台风中心运动的轨迹--射线ｌ的参数方程为
　　ｘ＝300＋40ｔｃｏｓ135°，（ｔ≥0）
　　ｙ＝40ｔｓｉｎ135° （ｔ≥0），即台风中心是（300－20ｔ，20ｔ）．
　　所以，台风中心在圆上或圆内的充要条件是
　　（300－20ｔ）2＋（20ｔ）2≤2502，
　　解得1．99≤ｔ≤8．61．
　　所以大约2小时后，S岛将受台风影响，并持续约6．6小时．

说明：本题对于研究台风、沙暴、寒流中心运动规律，指导和预防自然灾害的影响有现实意义．

　　三、预测水位上涨
　　例3　某地有一座水库，修建时水库的最大容水量设计为128000ｍ３．在山洪暴发时，预测注入水库的水量Ｓｎ（单位：ｍ３）与天数ｎ（ｎ∈Ｎ，ｎ≤10）的关系式是Ｓｎ＝5000·．此水库原有水量为80000ｍ3，泄水闸每天泄水量为4000ｍ3．若山洪暴发的第一天就打开泄水闸，问：这10天中堤坝有没有危险？（水库水量超过最大量时堤坝就会发生危险）

　　分析：这是一个关于无理不等式的建模素材，可建立如下的数学模型：5000－4000ｎ＞128000－80000，解得ｎ＞8，即水库堤坝在第9天开始会发生危险．

　　例4　由于洪峰来临，某抛物线型拱桥下游8公里处有一救援船只接到命令，要求立即到桥的上游执行任务，并告知，此时水流速度为100米／分，拱桥水面跨度为米，水面以上拱高10米，且桥下水面上涨的高度与时间ｔ（分钟）的平方成正比，比例系数为1／1000．已知救援船只浮出水面部分的宽、高各3米，问该船至少以多大的速度前进，才能顺利通过．（水速视为匀速）

　　分析：要使船能顺利通过，只要桥拱至水面3米处的宽度大于或等于船的宽度即可．