高中生物教学中的几个数学建模的问题

 

摘要：生命科学是理科中的一大支柱，具备理科思维的严谨性、逻辑性与科学性。其中蕴含数学建模思想，在生物学科教学中，归纳出一般的规律显得十分的重要。既可以树立理科意识，又可以很好的使用数学工具解决一些复杂的问题。

关键词：高中        生物教学          数学建模

    生命科学是自然科学中的一个重要的分支。在高中学习阶段，有部分学生把生物学科当作是文科来学，认为只要会背、会记、能理解就可以了。其实并非如此，在现行的高中生物学科中涉及到的知识，要求学生应具备理科的思维方式。因此，在高中生物教学中，教师应注重理科思维的培养，树立理科意识，渗透数学建模思想。本文在此谈谈，在高中生物教学中的几个数学建模的问题。

1、  数学建模思想在生物学中的应用

众所周知，数学是自然科学中的一大支柱，其思想渗透到所有理科中。在高中学习阶段，数学是学习其他学科的基础，它作为一门工具学科在物理和化学上具有广泛的应用。由于高中生物学科以描述性的语言为主，有的学生往往以为学好生物学是与数学没有关系的。他们尚未树立理科意识，缺乏理科思维。比如：他们不会用数学上的排列与组合来分析减数分裂过程配子的基因组成；也不会用数学上的概率的相加、相乘原理来解决一些遗传病机率的计算等等。这些需要教师在平时的课堂教学中给予提炼总结，并进行数学建模。所谓数学建模(MathematicalModelling)，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。构建数学模型，能使学生的知识能发生正迁移，起到举一反三的效果。这在生物学科教学中，培养理科思维也起到十分重要的作用。

2、  高中生物学科中的数学建模

2．1数形结合思想的应用

    近些年来，从各地的高考试题分析，注重考查学生的分析、推理与综合能力，体现高考的“以能力立意”的理念。有的试题从数形结合的角度来考查学生的生物学知识及理科的思维。要求学生不但能用数学知识分析图表中的信息，而且还会从生物学知识的角度来分析。例如：

§（2000年上海高考）下列A、B、C三图依次表示酶浓度一定时，反应速度和反应物浓度、温度、PH的关系。

 

 

 

 

 

请据图分析回答下列问题：

（1） 图A中，反应物达到某一浓度时，反应速度不再上升，其原因是__________。

（2） 图B中，a点所对应的温度称为______________________。

（3） 图B中，a点到b点的曲线急剧下降，其原因是_______________________。

（4） 将装有酶反应物的甲、乙两试管分别放入12℃和75℃水浴锅中，20分钟后取出转入37℃的水浴锅中保温，两试管内反应分别应为：甲___________，乙_______________。

（5） 图C表示了______催化反应的速率变曲线。（    ）

A、唾液淀粉酶       B、胃蛋白酶        C、胰蛋白酶       D、植物淀粉酶

    诸如此类，考查学生能用数形结合角度分析酶促反应与温度、PH值及底物浓度的关系，学生结合数学函数图形的变化关系，从生物学知识的角度来解答，问题就会迎刃而解了。教师在平时解析此类试题时，可以渗透数学曲线的变化，对生物学上的一些现象进行解释。树立学生的理科观念，并且会对一些生物学现象作出曲线。

2．2排列与组合的应用

    高中生物学科在高二、三年级开设的，学生应该清楚排列与组合的相关数学知识。在高中生物学上，涉及到比较多的排列与组合的相关知识。比如，遗传信息的问题，还有精（卵）原细胞经过减数分裂形成配子时，其基因组成的情况分析等等，都需要运用到数学的排列与组合的知识。教师作为学生的启发者与指导者，在教学中可以先结合具体的实例，从用排列与组合角度，以及结合生物学的知识，构建上位概念，进而使学生的知识发生正迁移，做到举一反三。例如：

§基因型为AaBb（两对基因分别位于两对同源染色体上）的个体，在一次排卵时发现该卵细胞的基因型为Ab，则在形成该卵细胞时随之产生的三个极体的基因型为（    ）

A、AB、ab、ab    B、Ab、aB、aB    C、AB、aB、ab    D、ab、AB、AB

如果学生理解在卵原细胞进行减数分裂时，同源染色体上的等位基因在细胞中央的排列情况后，很容易得出最终形成的配子的基因型。因此，教师在新授课的知识点讲解时，应结合数学上的排列与组合的知识把此类问题讲述清楚。

2．3数学归纳法的应用

    教师要在平时的教学中善于从已有的知识过渡到新知识，讲清新知识与已有知识的内在联系与区别，以利于学生进行同化学习。在生物教学中，教师可以先让学生对一些实例的练习，然后经过分析、归纳出一般的规律。使学生通过上位学习，把数学中的相关知识融入到生物学科中来，做到知识的正迁移。如此这样,学生经过分析、推理等思维过程，使新知识与原有的知识建立了联系，进而概括出新的规律性知识并重建新的认知结构，然后通过运用新规律，进一步检验、巩固新知识，并实现知识的迁移。例如：

§（1）让杂合黄豌豆连续自交n代后，杂合体所占的比例是（      ）

A、1/2ⁿ          B、（1/2）^n-1       C 、（1/2）ⁿ⁺¹       D、（1/2）²ⁿ    

（2）在基因工程中，把选出的目的基因（共1000个脱氧核苷酸对，其中腺嘌呤脱氧核苷酸是460个）放入DNA扩增仪中扩增4代，那么，在扩增仪中应放入胞嘧啶脱氧核苷酸的个数是

A、540个        B、8100个       C、17280个        D、7560个

等等诸如此类的计算题，都可以建立数学模型。教师帮助学生采用数学归纳法，不难构建出数学模型。如第（1）题的数学模型是：N=1/2ⁿ；第（2）题的数学模型是：S_N=A×（2^N-1）（A为配对的碱基数目，N为复制的次数）等。现将一些遗传规律归纳如下：

2. 4概率的计算

    概率是高中数学中的比较重要的知识，其中涉及到的有相加、相乘原理。在高中生物教学中，结合数学中的概率来计算遗传的机率，就显得十分的简单。因此，建立数学模型显得尤其重要。例如：

§（1）囊性纤维变性是一种常染色体遗传病。在欧洲的人群中，每2500人就有一个人患此病。如一对健康的夫妇生有一个患此病的孩子，此后，该妇女又与一健康的男子再婚。再婚的双亲生一患病的孩子机率是（     ）

A、1/25          B、1/50           C、1/100          D、1/1000

  ( 2 )假定基因A是视网膜正常所必需的，基因B是视神经正常所必需的。这两类基因分别位于不同对的染色体上，现有基因型为AaBb的双亲，从理论上分析，他们所生的后代视觉正常的可能性是

A、3/16                B、4/16                C、7/16                D、9/16

上述第（1）题运用哈迪-温柏格（Hardy-Weinberg）定律：在一个随机交配的群体中，其基因频率没有发生变化。设常染色体上的一对等位基因A和a的频率分别为P和Q，且P+Q=1，（PA+Qa）²=P²(AA)+2PQ(Aa)+Q²(aa)。不难得出本题的结果。第（2）题可以用概率相乘原理容易得出答案。等等诸如此类，教师在平时的教学中，可把相关的类型归纳出来，建立一个数学模型。使学生的思维得到进一步的提升，同化新知识同时发生正迁移。

2. 5生态系统的数学模型

    生态学的一般规律中，常常求助于数学模型的研究，理论生态学中涉及到大量的数学模型构建的问题。在高中生物学中相关的生态学知识模块也牵涉到相当多的数学建模的问题。如：种群的动态模型研究，“J”与“S”型曲线；种间竞争及捕食的模型等等。例如：

§（1）如右图，从理论上分析，海洋捕捞的最佳时期应在“S”型增长曲线的（   ）

A、S型曲线即将增长的水平 

B、1/2K的水平

C、K值水平

D、1/4K的水平

（2）为了研究第Ⅰ、Ⅱ两类细菌的种间竞争关系，某同学将这两类细菌放入适宜培养液混合培养。

实验测定了混合培养液中第Ⅰ类细菌在第一代(Z_t)时所占总数的百分比与第二代(Z_t+1)时所占总数的百分比之间的关系。如右图实线表示实际观察到的(Z_t+1)和(Z_t)的关系，虚线表示假设(Z_t+1)=(Z_t)时的情况。请据图推测，混合培养数代以后第Ⅰ类和第Ⅱ类细菌数量的变化趋势是（    ）

A、第Ⅰ类与第Ⅱ类都减少            B、第Ⅰ类与第Ⅱ类都增加

C、第Ⅰ类增加，第Ⅱ类减少          D、第Ⅱ类增加，第Ⅰ类减少

在第（1）题中，是比较典型的“S”型曲线，在种群达到K值时，种群的增长率为0。因为在K值时，取一点做曲线的切线其斜率为0。在“S”型曲线的K/2时，在该点的曲线切线的斜率最大说明种群的增长率最大，适时适量的捕捞对种群的生长是有利的。“J”型曲线实质上是一个指数函数，“S”型曲线实质上是指数函数与对数函数的叠加。第（2）题结合数学坐标，从曲线上任取一点作横坐标与纵坐标，不难得到结果。

2．6生物作图及曲线分析

    生物作图在近些年的高考试题中经常出现，对能力要求比较高，要求学生会从数形中提炼出有用的信息。教师在平时的教学中，可以结合生物学知识解决一些难以理解的、比较抽象的知识点。例如：

§（1）对照下图中的甲图，能正确表示细菌生长速率变化的曲线是乙图中的（    ）

（2）下图中，甲、乙两图分别表示一天内某丛林水分的失与得（A、B）和CO₂的吸收与释放（m、n）的变化情况（S代表面积）。请据图分析，下列说法错误的是（     ）

 

 

 

 

 

      A、若在白天大部分时间S_m=S_n,植物就能正常生存

     B、若S_B-S_A〉0，则多余的水分用于光合作用等生理过程

     C、若S_B-S_A〉0，且S_m-S_n〉0，则丛林树木同化作用占优势

     D、若S_B-S_A〈0，仅从环境推测，当日气温可能偏高或土壤溶液浓度偏高

第（1）题涉及到的是微生物的生长规律，在固定容积的容器中，微生物的群体生长如甲图所示。从曲线上取任意多的点，做曲线的切线将会看到切线的斜率在不断的变化，不难得出本题的答案。第（2）题是个比较典型的面积计算的问题，用数形结合思想来分析，显得十分的简单。学生如果能用数学思维来解答，这样的题目难度其实是比较小的。

3. 生物教学中构建数学模型的意义

    高中生物学科中涉及到的数学建模远不及这些，限于篇辐，本文在此只作简要的归纳。我们知道，实际问题是复杂多变的，数学建模需要学生具有一定的探索性和创造性。在生物学科教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到生物学并非是一门理解型的自然科学，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合生物学理论知识，能很好的解决一些生物学实际问题的妙处，进而对生物学产生更大的兴趣。生命科学作为一门自然科学，其理论的深入研究必定会涉及到很多数学的问题。在生物学科教学中，构建数学模型正是联系数学与生命科学的桥梁。如何将生物学理论知识转化为数学模型，这是对学生创造性地解决问题的能力的检验，也是理科教育的重要任务。高中生物学教学中，教师通过建立一些数学模型，不但能培养学生的逻辑推理能力，而且还能树立学生的理科意识，理解数学思想在生物科学中的应用价值。

 

 

 

洪东涯：  男、生于1976年6月，1999年7月毕业于华东师范大学生物学系本科，同年参加工作，现为中学二级教师。

金理笑：  男、生于1976年8月，1999年7月毕业于浙江师范大学数学系本科，同年参加工作，现为中学二级教师。

联系电话：13858789532；电子邮件（E-mail）：hongdongya@126.com。

参考文献：

（1）《遗传学》      王亚馥     主编               高等教育出版社

（2）《普通生态学》   孙儒泳等    编               高等教育出版社

（3）《导与练—生物》 韩清海等    编           陕西人民教育出版社