自主探究地学习数学建模

 

南安市金淘中学  叶超毅

   

课程标准指出：“数学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生己有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”那么，在数学教学活动中如何贯彻新课程的理念呢？本方以一道练习题为例谈谈看法。

    一、创设情景，引出问题

由一道练习改编如下：某中学为了美化校园，准备在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作为草坪，要使草坪的面积为540m²，道路的宽应为多少？

这样创设情景问题，不仅可以使学生体会到数学来源于生活，又服务于生活。更重要的是能激起学生自主探究问题的欲望。

课标指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。”

所以在教学过程中，鼓励学生广开思路、不断尝试，多方位地思考问题，尽可能多地设计方案，学生设计如下：

 

 

 

 

 

然后让学生讨论哪种方案最出色、最完美。此时的学生各抒己见，发表各自的看法，最后都认为图1的方案较好，因为它具有对称美。

引导学生看题目，结合所展示的设计方案，弄清题意，搞清题目中有哪些数量是己知的，哪些数量是未知的，找出各数量之间的关系，展示出数学模型。经过思考，学生结合自己所设计的方案，纷纷举手，踊跃发言：

设计方案1，设道路的宽度为x m，依题意，可列方程：

× ×4=540

设计方案2，设道路的宽度为x m，依题意，可列方程：

(32−x)(20−x)=540

设计方案3，设道路的宽度为x m，依题意，可列方程

×(20−x) ×2=540

设计方案4，设道路的宽度为x m，依题意，可列方程

32x+20x−x²=32×20−540

………

让学生自己动手解所列的方程，并检验答案。然后和其它同学比较一下，结果是否一样。

在此基础上，抓住时机引导学生对问题进行多角度的展开联想，拓广探究，以培养学生自主提出问题的能力。

首先让学生进行相互交流探讨，然后再以四位同学为一小组进行合作探索。这主要是让学生“能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”此时，学生的热情很高，每位同学都积极地参与讨论，课堂气氛很好。结果归纳有以下几种拓广及相应的建模：

拓广1：某中学为了美化校园，准备在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，使得其中两条与AB平行，另一条与AD平行，余下的部分作为草坪，要使草坪的面积为540m²，道路的宽应为多少？

 

 

 

 

 

 

 

如图5（1），设道路的宽为x m，方程可列为：32×20−(32x+2×20x−2x²)=540

如图5（2），设道路的宽为x m，方程可列为：(20−x)(32−2x)=540

如图5（3），设道路的宽为x m，方程可列为：(20−x)(32−x) −x(20−x)=540

    拓广2：有的同学在拓广1的基础上改编为：

某中学为了美化校园，准备在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路，使得其中a条与AB平行，b条与AD平行，余下的部分作为草坪，要使草坪的面积为540m²，道路的宽应为多少？

如图6，设道路的宽为x m，方程可列为：

32×20−(32bx+2×20ax−2abx²)=540

某中学为了美化校园，准备在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作为草坪，要使草坪的面积为540m²，道路的宽应为多少？为了进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时符合下述两个条件）：

条件1：在每块草坪是各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为13米²;

条件2：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形。

请你画出符合上述设计方案的一种草图（不必说明画法和根据），并求出每个菱形花圃的面积。

 

 

 

 

 

这样一来，能让学生“认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有

着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。”所以，学生的兴趣非常浓，积极地思考、设计、探讨，最后得出下列二种情况及相应的建模（如图7所示）。

学生通过画图、探讨、分析，最后得出：每一个菱形的面积等于它所在的矩形的面积的一半。所以可得：

①、如图8（1）S₁=S₂  S₃=S₄，且S₁−S₃=2×13

②、如图8（2）S₁=S₂  S₃=S₄，且S₁−S₃=2×13

引导学生对上述各题的建模成果进行归纳整理，使之有条理化、结构化、系统化地掌握起来，为以后有效地运用及创造性地解决问题服务。

通过这类面积问题的建模探究学习，学生可以初步了解如何从数学的角度运用所学的知识和方法寻找解决问题的策略。同时也让学生体验到学习过程中必须要自主地思考，有效地合作和交流，对问题中所产生的新问题必须认真地探究。这样，才能享受到解决问题后的乐趣，领略到数学的内在美、简洁美和统一美。