2004年北京工业大学数学建模竞赛初赛试题

假设随着学校的发展和校园面积的逐步扩大，需要对校园内的广播喇叭进行改、扩建，学校打算征集各方面的意见，改建校内广播喇叭的分布，从而进一步扩大校广播台的影响和作用。图1是北京工业大学的平面图，标有 是原有的广播喇叭。 (比例尺  |__|__|__|__|__|  1：2000)

图1：北京工业大学平面图及广播喇叭的位置

目前广播喇叭分布存在的普遍问题是：校园内有的地方声音大，有的地方声音小，有的地方听不到广播。现要求你重新设计一套广播喇叭分布方案，要求克服上述问题，并充分考虑校园噪声；喇叭的音调、响度、音色；铺线问题（学校采用的是地下铺线方式）以及喇叭分布和地下铺线时对校内道路建筑的影响等问题进行方案设计。进一步要求，为了降低重装费用，需要利用原有广播喇叭资源以及分布情况，你将采取什么方案，使变动最小且达到效果最优。

表1给出了国家规定的噪声等级标准。表2给出了乐音的三个特征。

 

表1：国家规定的城市区域噪声等级标准

地区	白天/dB	夜间/dB
特别需要安静的地区	45	35
一般居民区、文教区	50	40
居民、商业混合区	55	45
市中心商业区、街道工厂附近	60	50
工业区	65	55
交通干线两侧	70	55

 

表2： 乐音的三个特征

 

PE公司是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业人员，其结构和相应的工资水平分布如表3所示。

表3 公司的结构及工资情况

目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表4所示。

 

表4 不同项目和各种人员的收费标准

为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表5所示。

表5：各项目对专业技术人员结构的要求

说明：

l        表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；

l        项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；

l        高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；

l        各项目客户对总人数都有限制；

l        由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。

由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。

 

要在人群中（数量很大，基本上是健康人）找出某种病毒的感染者，为减少检验次数（目的是降低费用），通常采用筛选的办法。即假设人群总数为 n, 将人群分成m组，每组的人数为k，将每组的 k份血样混在一起进行化验，若化验结果呈阳性，则需要对该组的每个人重新进行化验，以确定谁是病毒感染者；若化验结果呈阴性，则表明该组全体成员均为阴性，不需要重新化验。

(1)    已知阳性的先验概率为 p，当 p固定时，如何分组可使得化验次数最小；

(2)     找出不应再分组的p的取值范围；

(3)     讨论两次分组的情况，即检测为阳性的组再次分组检验的情况。 

 

    某部门推出一专项基金，目的在于培养优秀人才，根据评比结果来确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比：

l        为了公平性，评委不对本单位选手打分；

l        每位评委对每位参与申请的选手（除本单位选手外）都必须打分，且避免打相同分数。

l        评委打分方法为：给参加申请的选手排序，并根据排序情况分别记为第一名1分，第二名 2分, …；依次类推。

l        评判结束后，求出各选手的平均分，将平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次给予资助（平均分最低者获得资助最高，依次类推）。

    本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其它选手没有类似情况。比赛结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否对方案做出修正，从而解决选手甲的抱怨？