2004年东华大学数学建模选拔赛题目

1.      各参赛队可在组委会公布的A、B两题中任选一题作答，在规定时间内完成论文。论文应包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面，并附主要程序代码。

2.      答卷用白色A4纸打印。各参赛队需从教务处网站http://jw.dhu.edu.cn/上下载答卷封面，如实填写后作为封面与论文全文装订成册，于月日上午8：00－11：00期间交到。

 

 

绘制DNA限制性图谱是遗传生物学中的重要问题。由于DNA分子很长，目前的实验技术无法对其进行直接测量，所以生物学家们需要把DNA分子切开，一段一段的来测量。在切开的过程中，DNA片段在原先DNA分子上的排列顺序丢失了，如何找回这些片段的排列顺序是一个关键问题。

为了构造一张限制性图谱，生物学家用不同的生化技术获得关于图谱的间接的信息，然后采用组合方法用这些数据重构图谱。一种方法是用限制性酶来消化DNA分子。这些酶在限制性位点把DNA链切开，每种酶对应的限制性位点不一样。对于每一种酶，每个DNA分子可能有多个限制性位点，此时可以按照需要来选择切开某几个位点（不一定连续）。DNA分子被切开后，得到的每个片段的长度就是重构这些片段的原始顺序的基本信息。在多种获取这种信息的实验方法中，有一种广泛采用的方法：部分消化（the partial digest, PDP）方法。

在PDP中，采用一种酶，通过实验得到任意两个限制性位点之间片段的长度。假设与使用的酶对应的限制性位点有n个， 通过大量实验，可得到n+2个点（n个位点加上两个端点）中任意两点之间的距离，共 个值。然后用这 个距离来重构n个限制性位点的位置(解不一定唯一，两个端点对应于最长的距离)。若 是线段上的点集 中所有点之间距离的集合，PDP就是给定 求 。下图给出了一个例子。

图1.   A,B是DNA分子的两个端点。 a，b，c和d是限制性位点。  通过实验可以得到 ={2,3,4,5,2,5,9,14,16,7,12,14,9,11,7}. 再通过 来求 ，对应于上图的 ={0,2,5,9,14,16}是一种解。

 

上述方法要把DNA分子在任意的两个限制性位点处切开，这对于当前的实验技术来说有相当难度，而且，还要对实验数据进行处理，也很复杂。最近研究人员提出了一种新的方法，称为简化的部分消化方法（SPDP）。这个方法与PDP的不同就在于它避免了在任意两个位点切开DNA分子的难题和处理重复数据的困难。仍假设与使用的酶对应的限制性位点有n个。首先DNA分子被复制成n+1份，前n个复制品中的每一个在一个限制性位点处被切开，最后一个复制品在所有的限制性位点处被切开。这样我们分别得到2n个片段长度（称为第一组数据）和n+1个片段长度（称为第二组数据）。在没有误差的前提下，第一组数据中2n个长度可以分成n对，每对的和都等于DNA分子的总长度；第二组数据中n+1个长度的和也等于DNA分子的总长度。 SPDP问题是如何利用这两组数据重构出这n+1个片段在DNA分子上的排列，使得这个排列在n个位点切开后得到的2n个片段长度与实验得到的2n个长度相等。下图给出了一个例子。

图2.  这个例子对应的位点有4个。(a) 就是我们希望重构的顺序。 (b)中的前4对为第一组数据，它通过切开一个位点得到，每对长度的和都是16，剩下的为第二组数据，含5个片段长度，它通过切开所有位点得到，它们的长度总和也是16， 但实验结果只告知每段的长度，不知道它们在DNA分子上的排列顺序。

 

现对上述SPDP问题，建立数学模型，并研究以下问题：

（1）     设计求解该问题的算法， 并评估该算法的效率和效果。对下述2个实例给出答案：

实例1： 第一组数据：2，14，8，8，9，7，13，3

第二组数据：2，1，4，3，6

 

实例2:  第一组数据：1，14，12，3，7，8，9，6，11，4，12，3，13，2，5，10

第二组数据：1，1，2，1，2，2，1，2，3

 

（2）    讨论在实验中测量片段长度时的误差，将在多大程度上影响算法的效果，当误差到多大程度时，限制性图谱的重构将无法进行。

 

 

“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。

表1 公司的人员结构及工资情况

目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。

表2 不同项目和各种人员的收费标准

 

为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：

表3：各项目对专业技术人员结构的要求

说明：

l         表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；

l         项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；

l         高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；

l         各项目客户对总人数都有限制；

l         由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。

由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。